Cálculo de Permutaciones — Con y Sin Repetición, Paso a Paso
Vista rapida
Las permutaciones cuentan el número de formas de ordenar elementos de un conjunto. La fórmula clave es P(n,r) = n! / (n−r)! para permutaciones sin repetición, y nʳ para permutaciones con repetición. Diferencia crucial: las permutaciones consideran el orden (ABC ≠ BAC), mientras que las combinaciones no. Para n = 10 y r = 3: hay 720 permutaciones pero solo 120 combinaciones. Las permutaciones se aplican en criptografía (contraseñas), probabilidad, planificación de horarios y análisis combinatorio.
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Tabla de permutaciones P(n,r) — Valores pre-calculados
Valores exactos de P(n,r) = n!/(n−r)! para las combinaciones más frecuentes en ejercicios y aplicaciones.
| n \ r | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 6 | 6 | — | — |
| 4 | 4 | 12 | 24 | 24 | — |
| 5 | 5 | 20 | 60 | 120 | 120 |
| 6 | 6 | 30 | 120 | 360 | 720 |
| 7 | 7 | 42 | 210 | 840 | 2.520 |
| 8 | 8 | 56 | 336 | 1.680 | 6.720 |
| 9 | 9 | 72 | 504 | 3.024 | 15.120 |
| 10 | 10 | 90 | 720 | 5.040 | 30.240 |
Factoriales de referencia
| n | n! |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5.040 |
| 8 | 40.320 |
| 9 | 362.880 |
| 10 | 3.628.800 |
Patrón: el factorial crece más rápido que cualquier exponencial. 20! ya supera los 2.4 × 10¹⁸, cerca del límite de enteros de 64 bits.
¿Cómo se calculan las permutaciones sin repetición?
Las permutaciones sin repetición P(n,r) cuentan las formas de elegir r elementos entre n cuando el orden importa y no se repiten elementos.
= n × (n−1) × (n−2) × ... × (n−r+1)
(se multiplican r factores consecutivos empezando desde n)
Razonamiento paso a paso
- Para la 1.ª posición: n opciones disponibles.
- Para la 2.ª posición: n−1 opciones (ya se usó una).
- Para la 3.ª posición: n−2 opciones.
- Para la r-ésima posición: n−r+1 opciones.
- Por el principio de multiplicación: total = n × (n−1) × ... × (n−r+1).
P(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336 formas
O con la fórmula: P(8,3) = 8! / 5! = 40.320 / 120 = 336 ✓
P(12,3) = 12 × 11 × 10 = 1.320 podios posibles
P(10,4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 PINs distintos
(Comparar con repetición permitida: 10⁴ = 10.000)
¿Cuál es la diferencia entre permutaciones y combinaciones?
Esta es la pregunta más frecuente en combinatoria. La respuesta es una sola palabra: orden.
| Criterio | Permutaciones P(n,r) | Combinaciones C(n,r) |
|---|---|---|
| ¿Importa el orden? | Sí (ABC ≠ BAC) | No ({A,B,C} = {B,A,C}) |
| Fórmula | n! / (n−r)! | n! / [r!(n−r)!] |
| Relación | P(n,r) = C(n,r) × r! | C(n,r) = P(n,r) / r! |
| Resultado | Siempre ≥ C(n,r) | Siempre ≤ P(n,r) |
| Ejemplo típico | Podio, contraseñas, números de teléfono | Lotería, comités, manos de cartas |
P(n, r) = C(n, r) × r!
Las permutaciones son las combinaciones multiplicadas por las formas de ordenar cada grupo.
Combinaciones C(4,2) = 6: {AB, AC, AD, BC, BD, CD}
Permutaciones P(4,2) = 12: AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC
Verificación: 12 = 6 × 2! = 6 × 2 ✓
Tabla comparativa numérica
| n | r | P(n,r) | C(n,r) | Ratio P/C = r! |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 20 | 10 | 2 |
| 10 | 3 | 720 | 120 | 6 |
| 10 | 5 | 30.240 | 252 | 120 |
| 20 | 4 | 116.280 | 4.845 | 24 |
| 52 | 5 | 311.875.200 | 2.598.960 | 120 |
La última fila corresponde a manos de póker: 2.6 millones de combinaciones, pero más de 311 millones de secuencias ordenadas.
¿Qué son las permutaciones con repetición?
En las permutaciones con repetición, cada elemento puede aparecer más de una vez. Es el caso de contraseñas donde se pueden repetir caracteres, o de códigos numéricos como el PIN del teléfono.
PR(n, r) = n^r
Cada una de las r posiciones puede llenarse con cualquiera de los n elementos.
Comparación directa
| Escenario | Sin repetición P(n,r) | Con repetición nʳ | Diferencia |
|---|---|---|---|
| Código 4 dígitos (0-9) | 5.040 | 10.000 | +98% |
| Contraseña 6 letras (26) | 165.765.600 | 308.915.776 | +86% |
| 3 colores de 5 | 60 | 125 | +108% |
| Dado 3 veces (6 caras) | 120 | 216 | +80% |
PR(36, 8) = 36⁸ = 2.821.109.907.456 (2.82 billones de combinaciones)
Sin repetición: P(36,8) = 1.220.096.908.800 (1.22 billones). La repetición casi triplica las posibilidades.
PR(4, 20) = 4²⁰ = 1.099.511.627.776 ≈ 1.1 billones de secuencias posibles
¿Cómo se aplican las permutaciones en probabilidad?
Las permutaciones son la base del cálculo de probabilidades cuando los resultados involucran arreglos ordenados. La probabilidad de un evento es el cociente entre permutaciones favorables y permutaciones totales.
P(evento) = Permutaciones favorables / Permutaciones totales
Permutaciones totales: P(20,3) = 20 × 19 × 18 = 6.840
Permutaciones favorables: 1 (solo una secuencia correcta)
P = 1/6.840 ≈ 0.0146%
P(nadie comparte) = P(365,23) / 365²³ = (365 × 364 × ... × 343) / 365²³ ≈ 0.4927
P(al menos dos comparten) = 1 − 0.4927 ≈ 50.73%
Este es el célebre «problema del cumpleaños», sorprendente porque 23 personas bastan para superar el 50%.
Tiene 4 letras con la A repetida 2 veces: P = 4! / 2! = 24 / 2 = 12 anagramas
Permutaciones circulares y casos especiales
Las permutaciones circulares cuentan los arreglos alrededor de un círculo (mesa redonda, collar, reloj). Como no hay «primer lugar», se eliminan las rotaciones equivalentes.
Pcirc = (n − 1)!
Se fija un elemento como referencia y se permutan los n−1 restantes.
Tipos especiales de permutaciones
| Tipo | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Lineales (estándar) | P(n,r) = n!/(n−r)! | Podio de carrera |
| Totales | P(n) = n! | Ordenar baraja de cartas |
| Con repetición | nʳ | Contraseñas |
| Circulares | (n−1)! | Sentarse en mesa redonda |
| Circulares con collar | (n−1)!/2 | Collar de perlas (sin frente/dorso) |
| Desordenamientos | D(n) = n! × Σ(-1)ᵏ/k! | Repartir sobres mal |
Lineales: 6! = 720. Circulares: (6−1)! = 5! = 120
Se eliminan 6 rotaciones equivalentes (720/6 = 120).
Circulares: (8−1)! = 5.040. Pero un collar se puede voltear, así que dividimos por 2:
Collar: 5.040 / 2 = 2.520 collares distintos.
Permutaciones de multiconjuntos (con elementos repetidos)
Cuando el conjunto tiene elementos repetidos, las permutaciones totales se reducen porque intercambiar elementos idénticos no produce un arreglo nuevo.
P = n! / (n₁! × n₂! × ... × nₖ!)
donde n₁, n₂, ..., nₖ son las frecuencias de cada elemento repetido.
P = 11! / (1! × 4! × 4! × 2!) = 39.916.800 / (1 × 24 × 24 × 2) = 39.916.800 / 1.152 = 34.650
P = 10! / (4! × 3! × 3!) = 3.628.800 / (24 × 6 × 6) = 3.628.800 / 864 = 4.200
Tabla de referencia para palabras comunes
| Palabra | Letras | Repeticiones | Anagramas |
|---|---|---|---|
| CASA | 4 | A×2 | 12 |
| MAMA | 4 | M×2, A×2 | 6 |
| BANANA | 6 | A×3, N×2 | 60 |
| PERMUTACION | 11 | todas distintas | 39.916.800 |
| PROBABILIDAD | 12 | B×2, A×2, I×2, D×2 | 29.937.600 |
Preguntas frecuentes
¿Qué es una permutación en matemáticas?
Una permutación es un arreglo ordenado de elementos de un conjunto. A diferencia de las combinaciones, en las permutaciones el orden importa: ABC es distinto de BAC. Se calculan con la fórmula P(n,r) = n!/(n−r)! para elegir r elementos de n sin repetición, o con n^r si se permite repetir.
¿Cómo se calcula P(n,r) paso a paso?
P(n,r) = n × (n−1) × (n−2) × ... × (n−r+1). Se multiplican r factores consecutivos empezando desde n. Por ejemplo, P(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336. Equivale a n!/(n−r)! = 8!/5! = 40320/120 = 336.
¿Cuál es la diferencia entre permutaciones y combinaciones?
Las permutaciones cuentan arreglos donde el orden importa (P(n,r) = n!/(n−r)!); las combinaciones no consideran el orden (C(n,r) = n!/[r!(n−r)!]). La relación es P(n,r) = C(n,r) × r!. Para n=10, r=3: P=720 permutaciones vs C=120 combinaciones.
¿Qué son las permutaciones con repetición?
Son arreglos donde cada elemento puede usarse más de una vez. La fórmula es PR(n,r) = n^r. Ejemplo: un código PIN de 4 dígitos (0-9) con repetición tiene 10⁴ = 10.000 posibilidades. Sin repetición serían P(10,4) = 5.040.
¿Cómo se calculan las permutaciones circulares?
Para n objetos distintos alrededor de un círculo (mesa redonda): Pc = (n−1)!. Se fija un elemento como referencia y se permutan los restantes. Para 6 personas en mesa redonda: (6−1)! = 5! = 120. Si además el objeto es simétrico (collar), se divide por 2: (n−1)!/2.
¿Qué es la permutación de un multiconjunto?
Cuando hay elementos repetidos, las permutaciones totales se reducen. La fórmula es n!/(n₁! × n₂! × ... × nₖ!) donde nᵢ es la frecuencia de cada elemento repetido. Por ejemplo, MISSISSIPPI (11 letras, M×1, I×4, S×4, P×2): 11!/(1!×4!×4!×2!) = 34.650 anagramas.
¿Cómo se aplican las permutaciones en probabilidad?
La probabilidad de un arreglo específico es 1/P(n,r). Por ejemplo, la probabilidad de acertar una quiniela de 3 caballos en orden (de 12) es 1/P(12,3) = 1/1320 ≈ 0.076%. El problema del cumpleaños también usa permutaciones: P(365,23)/365^23 ≈ 0.493.
¿Cuál es el factorial más grande que puede calcular una computadora?
Con números de punto flotante de 64 bits (double), el factorial más grande exacto es 170! ≈ 7.26 × 10³⁰⁶. 171! excede el rango representable (overflow a infinito). Para cálculos con factoriales mayores se usan bibliotecas de precisión arbitraria como BigInt en JavaScript o mpmath en Python.
Ingeniero y docente universitario. Expertos verificados en finanzas, fiscalidad y matematicas.
Ultima actualizacion: marzo 2026
📚 Fuentes:: Khan Academy — Permutaciones y Combinaciones · NIST — Combinatorics · MIT OpenCourseWare — Mathematics for Computer Science · Brilliant.org — Permutations · Wikipedia — Permutación