Cálculo de Integrales 2026: 8 Métodos + 30 Integrales Inmediatas
Lo esencial
El cálculo de integrales resuelve dos problemas inversos a la derivada: hallar la primitiva (integral indefinida ∫f(x)dx = F(x)+C) y calcular el área bajo la curva (integral definida ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a), Teorema Fundamental del Cálculo). Esta página reúne los 8 métodos, 30 integrales inmediatas, 5 ejercicios universitarios y una calculadora multi-modo.
- 8 métodos cubiertos — directa, sustitución u, por partes (ILATE), fracciones parciales, trigonométrica, Weierstrass (t = tan(x/2)), racionalización, impropias.
- Fórmula clave por partes — ∫u dv = uv − ∫v du (Leibniz, 1675); regla mnemotécnica ILATE para elegir u.
- Teorema Fundamental del Cálculo — si F'(x) = f(x), entonces ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) (Regla de Barrow).
- Constante +C — la integral indefinida representa una familia infinita de primitivas que difieren en una constante; en la definida, +C se cancela al restar.
- Sumas de Riemann — cuando no existe primitiva elemental (ej. e^(−x²)), se aproxima por rectángulos: ∫ₐᵇ f(x)dx ≈ Σ f(xᵢ)·Δx.
🔢 Calculadora de integrales (3 modos)
Introduce una función f(x) con sintaxis JavaScript (x**2, Math.sin(x), Math.exp(x), Math.log(x)). La calculadora aplica Simpson 1/3 (2000 subdivisiones) para integrales definidas, la regla de la potencia para antiderivadas polinomiales, y sumas de Riemann visualizadas con Chart.js.
Nota técnica: este motor local cubre polinomios, trigonométricas y exponenciales elementales. Para expresiones complejas (fracciones parciales automáticas, sustituciones simbólicas), usa Wolfram Alpha o SymPy (ver sección herramientas).
¿Qué es una integral? Intuición geométrica y TFC
Una integral responde a dos preguntas matemáticamente equivalentes gracias al Teorema Fundamental del Cálculo (TFC), formalizado por Isaac Barrow en el siglo XVII y refinado por Newton (1666) y Leibniz (1675):
- Problema geométrico — ¿cuál es el área comprendida entre la curva y = f(x), el eje X y las rectas verticales x = a, x = b? Arquímedes lo resolvió para la parábola mediante el método de exhaución hace 23 siglos.
- Problema analítico — dada una función f(x), ¿existe otra función F(x) tal que F'(x) = f(x)? Esa F es la primitiva o antiderivada.
Si F es una primitiva continua de f en [a, b], entonces:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ₐᵇ
La potencia del TFC es transformar un problema de suma infinita (área como límite de rectángulos, cf. Bernhard Riemann 1854) en un simple cálculo de dos valores. La integración y la derivación son operaciones inversas: ∫f'(x)dx = f(x) + C.
Los 8 métodos de integración
Cuando f(x) no aparece en la tabla de integrales inmediatas, aplicamos uno de estos 8 métodos. Dominar su elección es el núcleo del curso universitario de Cálculo I.
1. Integración directa (tabla de inmediatas)
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
Cuándo: la función ya tiene forma tabulada. Ejemplo: ∫(3x² + 4x − 5)dx = x³ + 2x² − 5x + C.
2. Sustitución (u-sub)
Cuándo: detectas una función compuesta f(g(x)) multiplicada por (algo parecido a) la derivada del interior. Ejemplo: ∫2x·cos(x²)dx. Sea u = x², du = 2x dx → ∫cos(u)du = sin(u) + C = sin(x²) + C.
3. Integración por partes (fórmula de Leibniz)
Regla mnemotécnica ILATE / LIATE para elegir u (se deriva) y dv (se integra):
- Inversas trigonométricas (arctan, arcsin)
- Logarítmicas (ln, log)
- Algebraicas (xⁿ, polinomios)
- Trigonométricas (sin, cos)
- Exponenciales (eˣ, aˣ)
Lo que aparece primero en ILATE se elige como u. Ejemplo: ∫x·eˣ dx → u = x (algebraica, A), dv = eˣdx (exponencial, E). Entonces du = dx, v = eˣ. Resultado: x·eˣ − ∫eˣdx = eˣ(x−1) + C.
4. Fracciones parciales
Cuándo: función racional (cociente de polinomios). Ejemplo: ∫1/(x²−1)dx = ∫1/[(x−1)(x+1)]dx. Descomponemos: 1/[(x−1)(x+1)] = ½/(x−1) − ½/(x+1). Integrando: (1/2)ln|x−1| − (1/2)ln|x+1| + C = (1/2)·ln|(x−1)/(x+1)| + C.
5. Sustitución trigonométrica
Útil con radicales √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²):
- √(a²−x²) → x = a·sin(θ)
- √(a²+x²) → x = a·tan(θ)
- √(x²−a²) → x = a·sec(θ)
Ejemplo: ∫√(1−x²)dx con x = sin(θ), dx = cos(θ)dθ → ∫cos²(θ)dθ = θ/2 + sin(2θ)/4 + C, volvemos a x: (arcsin(x) + x√(1−x²))/2 + C.
6. Sustitución de Weierstrass (tangente media)
Cuándo: cualquier función racional de sin(x) y cos(x). Transforma la integral trigonométrica en racional, resoluble por fracciones parciales. Ejemplo: ∫1/(1+sin(x))dx.
7. Racionalización
Cuándo: integrandos con radicales √(ax+b). Sustituimos t² = ax+b → 2t dt = a dx. Ejemplo: ∫x·√(x+1)dx con t² = x+1. Resultado: (2/5)(x+1)^(5/2) − (2/3)(x+1)^(3/2) + C.
8. Integrales impropias
Cuándo: límites infinitos o discontinuidades en [a,b]. Ejemplo: ∫₁^∞ 1/x² dx = lim(b→∞) [−1/x]₁ᵇ = lim(b→∞)(−1/b + 1) = 1 (converge). En cambio ∫₁^∞ 1/x dx diverge (crecimiento logarítmico).
Tabla de 30 integrales inmediatas
Memorizar estas 30 fórmulas cubre el 80% de los ejercicios de Cálculo I. Imprimible y orientada a estudiantes de UNAM, UPM, UBA, PUC y Uniandes.
| # | f(x) | ∫f(x)dx + C | Regla / Condición | Ejemplo |
|---|---|---|---|---|
| 1 | k (cte) | k·x | constante | ∫5dx = 5x |
| 2 | xⁿ | x^(n+1)/(n+1) | n ≠ −1 | ∫x³dx = x⁴/4 |
| 3 | 1/x | ln|x| | x ≠ 0 | ∫1/x dx = ln|x| |
| 4 | eˣ | eˣ | — | ∫eˣdx = eˣ |
| 5 | aˣ | aˣ/ln(a) | a > 0, a ≠ 1 | ∫2ˣdx = 2ˣ/ln2 |
| 6 | ln(x) | x·ln(x) − x | por partes | — |
| 7 | sin(x) | −cos(x) | — | ∫sin(x)dx = −cos(x) |
| 8 | cos(x) | sin(x) | — | — |
| 9 | tan(x) | −ln|cos(x)| | sustitución | — |
| 10 | cot(x) | ln|sin(x)| | — | — |
| 11 | sec(x) | ln|sec(x)+tan(x)| | — | — |
| 12 | csc(x) | −ln|csc(x)+cot(x)| | — | — |
| 13 | sec²(x) | tan(x) | — | — |
| 14 | csc²(x) | −cot(x) | — | — |
| 15 | sec(x)·tan(x) | sec(x) | — | — |
| 16 | csc(x)·cot(x) | −csc(x) | — | — |
| 17 | 1/√(1−x²) | arcsin(x) | |x| < 1 | — |
| 18 | −1/√(1−x²) | arccos(x) | |x| < 1 | — |
| 19 | 1/(1+x²) | arctan(x) | — | — |
| 20 | 1/(x·√(x²−1)) | arcsec|x| | |x| > 1 | — |
| 21 | sinh(x) | cosh(x) | hiperbólica | — |
| 22 | cosh(x) | sinh(x) | — | — |
| 23 | tanh(x) | ln(cosh(x)) | — | — |
| 24 | sech²(x) | tanh(x) | — | — |
| 25 | 1/√(x²+1) | arcsinh(x) | — | — |
| 26 | 1/√(x²−1) | arccosh(x) | x > 1 | — |
| 27 | 1/(a²+x²) | (1/a)·arctan(x/a) | a ≠ 0 | — |
| 28 | 1/√(a²−x²) | arcsin(x/a) | |x| < a | — |
| 29 | 1/(x²−a²) | (1/2a)·ln|(x−a)/(x+a)| | parciales | — |
| 30 | 1/√(x) | 2√x | x > 0 | — |
¿Qué método usar? Árbol de decisión
Antes de integrar, clasifica la función con este árbol de decisión. En 9 de cada 10 ejercicios de primer año, el método correcto aparece en los primeros 3 pasos.
- ¿Está en la tabla de 30 integrales inmediatas? → Integración directa.
- ¿Ves una composición f(g(x))·g'(x)? (derivada del interior presente) → Sustitución u.
- ¿Es producto de dos funciones distintas (polinomio·exponencial, polinomio·log, polinomio·trig)? → Integración por partes, eligiendo u por ILATE.
- ¿Es cociente de polinomios P(x)/Q(x)? → Fracciones parciales (factoriza Q primero).
- ¿Aparece √(a²±x²) o √(x²−a²)? → Sustitución trigonométrica.
- ¿Es racional en sin(x) y cos(x) sin patrón obvio? → Weierstrass t = tan(x/2).
- ¿Hay √(ax+b) sola? → Racionalización con t² = ax+b.
- ¿Límite infinito o discontinuidad en [a,b]? → Tratamiento impropio con límite.
- ¿Ninguno funciona? → Métodos numéricos (Simpson, trapecios, Monte Carlo) o CAS (Wolfram, SymPy).
Regla de oro: siempre verifica tu resultado derivando F(x). Si F'(x) = f(x), la integral está bien. Si no, revisa el método elegido.
5 ejemplos tipo examen universitario
Seleccionados de enunciados frecuentes en Cálculo I de UNAM (Facultad de Ciencias), UPM (ETSII Madrid), UBA (FCEyN Buenos Aires), PUC Chile y Uniandes Colombia.
Ejemplo 1 (UNAM) — Por partes: ∫ x·eˣ dx
- ILATE: x es algebraica (A), eˣ es exponencial (E) → u = x, dv = eˣdx.
- Derivar u: du = dx. Integrar dv: v = eˣ.
- Aplicar ∫u dv = uv − ∫v du = x·eˣ − ∫eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C.
- Resultado: eˣ(x − 1) + C. Verificación: d/dx[eˣ(x−1)] = eˣ(x−1) + eˣ·1 = x·eˣ. ✓
Ejemplo 2 (UPM) — Sustitución: ∫ (2x+3)/(x²+3x+7) dx
- Observa que la derivada del denominador (2x+3) es exactamente el numerador.
- Sustituye u = x²+3x+7, du = (2x+3)dx.
- La integral se reduce a ∫du/u = ln|u| + C.
- Resultado: ln|x²+3x+7| + C.
Ejemplo 3 (UBA) — Identidad trigonométrica: ∫ sin²(x) dx
- Usa la identidad del ángulo doble: sin²(x) = (1 − cos(2x))/2.
- Separa: ∫(1/2)dx − ∫(cos(2x)/2)dx.
- Primera parte: x/2. Segunda: sin(2x)/4 (con u = 2x).
- Resultado: x/2 − sin(2x)/4 + C.
Ejemplo 4 (PUC Chile) — Fracciones parciales: ∫ 1/(x²−1) dx
- Factoriza: x²−1 = (x−1)(x+1).
- Descompón: 1/[(x−1)(x+1)] = A/(x−1) + B/(x+1). Resolviendo: A = 1/2, B = −1/2.
- Integra cada término: (1/2)ln|x−1| − (1/2)ln|x+1|.
- Resultado: (1/2)·ln|(x−1)/(x+1)| + C.
Ejemplo 5 (Uniandes) — Definida con TFC: ∫₀¹ x² dx
- Halla primitiva: F(x) = x³/3.
- Aplica Regla de Barrow: F(1) − F(0) = 1/3 − 0.
- Resultado: 1/3 ≈ 0,3333 u² (área bajo y = x² en [0,1]).
- Comparación suma de Riemann n=100: ≈ 0,33335 — convergencia al valor exacto.
Historia del cálculo integral: de Arquímedes a Lebesgue
El cálculo integral es una de las cumbres de la matemática occidental. Cuatro hitos jalonan su desarrollo:
- Arquímedes (siglo III a.C.) — método de exhaución para el área de la parábola y el círculo. Primera intuición del límite de sumas.
- Bonaventura Cavalieri (1635) — método de los indivisibles; prepara el terreno para el cálculo infinitesimal.
- Isaac Newton (1666) — Methodus fluxionum et serierum infinitarum: inventa el cálculo en términos de velocidades instantáneas (fluxiones). Publica tarde (1736, póstumo).
- Gottfried Wilhelm Leibniz (1675) — introduce la notación moderna ∫ (S alargada de summa) y dx. La notación de Leibniz gana históricamente por su claridad algebraica.
- Isaac Barrow — formula la regla que une primitivas y áreas (Regla de Barrow), base del TFC.
- Augustin-Louis Cauchy (1823) — en Résumé des leçons, da la primera definición rigurosa de integral definida como límite de sumas.
- Bernhard Riemann (1854) — integral de Riemann: ∫ₐᵇ f(x)dx = lim(n→∞) Σ f(xᵢ)·Δx. Generaliza a funciones no continuas.
- Henri Lebesgue (1904) — teoría de la medida; integral de Lebesgue, base de la probabilidad moderna y del análisis funcional.
La disputa de prioridad Newton vs Leibniz (1711-1716) dividió la matemática europea durante un siglo. Hoy aceptamos que ambos descubrieron el cálculo de forma independiente; el veredicto moderno es salomónico.
Aplicaciones reales de las integrales
Física — Trabajo y centro de masa
El trabajo realizado por una fuerza variable F(x) entre a y b es W = ∫ₐᵇ F(x)dx. Si F(x) = 3x² N y el desplazamiento es [0, 2] m: W = [x³]₀² = 8 J. El centro de masa de una varilla de densidad ρ(x) es x̄ = ∫x·ρ(x)dx / ∫ρ(x)dx.
Economía — Excedente del consumidor
Si D(q) es la curva inversa de demanda y P el precio de equilibrio, el excedente del consumidor es EC = ∫₀^Q D(q)dq − P·Q. Mide el beneficio agregado de pagar menos del precio máximo dispuesto.
Probabilidad — Densidad y esperanza
Para una variable aleatoria continua X con densidad f(x), la probabilidad es P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x)dx. La esperanza E[X] = ∫x·f(x)dx. La distribución normal N(μ, σ²) requiere integrales impropias cuya primitiva no es elemental (función error erf).
Ingeniería — Volumen de revolución y flujo
El volumen del sólido generado al rotar y = f(x) alrededor del eje X entre a y b es V = π·∫ₐᵇ [f(x)]²dx (método del disco). Aplicaciones: depósitos, piezas mecánicas, turbinas. En circuitos RLC, la carga es q(t) = ∫i(t)dt.
5 errores comunes al integrar
- Olvidar +C — en la integral indefinida es obligatoria; su ausencia penaliza en exámenes.
- Confundir dx con d(x²) — si sustituyes u = x², entonces du = 2x·dx, no dx. Rectifica factorizando 2x.
- Aplicar la regla de la potencia a 1/x — x^(n+1)/(n+1) no vale para n = −1 (daría división por 0). La primitiva de 1/x es ln|x|.
- Elegir mal u en partes — sin ILATE terminas con una integral más difícil. Regla: si tras aplicar la fórmula ∫v du es peor que la original, inviertes la elección.
- Ignorar la convergencia en impropias — no todas las integrales con límite infinito existen. Verifica el límite antes de afirmar un valor.
Herramientas complementarias para integrar
- Wolfram Alpha — motor Mathematica, gold standard mundial; step-by-step de pago.
- Symbolab — tutor AI en ES, step-by-step con freemium 3/día.
- SymPy (Python) — biblioteca gratuita;
sympy.integrate(x**2, x)devuelve x³/3. - MATLAB — función
int(f, x)simbólica;integral(@f, a, b)numérica. - Mathematica —
Integrate[f[x], x]; el motor CAS más completo. - GeoGebra — visualización interactiva área bajo curva, ideal para aula.
- Desmos — calculadora gráfica online con integrales definidas animadas.
- Maxima — CAS open-source con algoritmo de Risch (raíz del motor integral-calculator.com).
Referencias académicas recomendadas: MIT OCW 18.01, Khan Academy (cálculo integral ES), Paul's Online Math Notes (Lamar University), Stewart Calculus, Spivak Calculus, MathWorld.
🤔 Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula una integral paso a paso?
Primero identifica el tipo de función. Si está en la tabla de 30 integrales inmediatas, aplícala directamente. Si no, usa el árbol de decisión: sustitución (composición), por partes (producto con ILATE), fracciones parciales (cociente de polinomios), trigonométrica (radicales). Halla F(x), suma +C (indefinida) o evalúa F(b)−F(a) (definida).
¿Cuál es la diferencia entre integral definida e indefinida?
La integral indefinida ∫f(x)dx devuelve una familia de primitivas F(x)+C (función). La definida ∫ₐᵇ f(x)dx devuelve un número: el área entre f, el eje X y las rectas x=a, x=b, calculado por el TFC como F(b)−F(a).
¿Qué es el Teorema Fundamental del Cálculo?
El TFC une derivadas e integrales. Parte 1: si F(x)=∫ₐˣ f(t)dt, entonces F'(x)=f(x). Parte 2 (Regla de Barrow): ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a) donde F es cualquier primitiva de f. Lo demostraron independientemente Newton y Leibniz en 1660-1675, refinado por Cauchy (1823).
¿Cómo se aplica la integración por partes?
Fórmula: ∫u dv = uv − ∫v du. Elige u con la regla ILATE (Inversa, Logarítmica, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial): el tipo que aparece primero en la lista es u. Ejemplo: ∫x·ln(x)dx → u=ln(x) (L), dv=x dx. Resultado: (x²/2)·ln(x) − x²/4 + C.
¿Cuándo usar sustitución trigonométrica?
Cuando aparece √(a²−x²) (usa x=a·sin θ), √(a²+x²) (x=a·tan θ) o √(x²−a²) (x=a·sec θ). La sustitución elimina la raíz y convierte la integral en trigonométrica resoluble por identidades.
¿Qué son las fracciones parciales?
Es una descomposición algebraica de cocientes de polinomios P(x)/Q(x) en suma de fracciones simples A/(x−a)+B/(x−b)+… que se integran fácilmente como logaritmos. Requiere factorizar primero Q(x). Válido cuando grado(P)<grado(Q); si no, divide primero.
¿Por qué se suma +C en las integrales indefinidas?
Porque infinitas funciones comparten la misma derivada: F(x), F(x)+1, F(x)+π… todas tienen F'(x)=f(x). La constante de integración C representa esa familia completa. En la integral definida, C se cancela al calcular F(b)−F(a), por eso nunca aparece en resultados numéricos.
¿Cómo resolver integrales impropias?
Sustituye el límite infinito por una variable t y calcula el límite: ∫ₐ^∞ f(x)dx = lim(t→∞)∫ₐᵗ f(x)dx. Si el límite existe, la integral converge; si no, diverge. Test clave: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx converge si p>1, diverge si p≤1.
¿Para qué sirven las integrales en la vida real?
Física (trabajo W=∫F·dx, centro de masa, momento de inercia), economía (excedente consumidor/productor), probabilidad (densidades, esperanza, distribución normal), ingeniería (volumen de revolución, flujo, circuitos RLC), medicina (dosis acumulada), estadística. Es la herramienta matemática universal para agregar cantidades variables.
¿Quién inventó el cálculo integral, Newton o Leibniz?
Ambos, de forma independiente. Newton lo desarrolló primero (1666, método de fluxiones) pero publicó tarde. Leibniz lo presentó después (1675) con la notación moderna ∫ y dx, que es la que usamos hoy. La disputa de prioridad (1711-1716) enfrentó a las academias británica y alemana durante un siglo. Hoy se reconoce la autoría dual.
Ingeniero matemático (ETSII-UPM) y docente universitario de Cálculo I. Co-autor de material pedagógico para estudiantes hispanohablantes de UNAM, UPM, UBA, PUC y Uniandes. Experto calcuris en matemáticas, construcción y conversiones.
Última actualización: 18 de abril de 2026
📚 Fuentes académicas: MathWorld — Integral · MIT OCW 18.01 Single Variable Calculus · Paul's Online Math Notes — Integrals · Khan Academy — Cálculo integral · Teorema Fundamental del Cálculo · Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals (9ª ed., Cengage) · Spivak, M. Calculus (4ª ed., Publish or Perish)