Calculadora de Derivadas - Reglas y Derivación Numérica
Lo importante
Calcula derivadas con dos modos: derivada numérica (cualquier función f(x) con gráfico de tangente) y regla de la potencia (ax^n). Clave: la derivada es la pendiente de la tangente — su interpretación geométrica clarifica el 90% de los errores de cálculo.
🧮 Herramienta de cálculo
Tabla de derivadas fundamentales
| Función f(x) | Derivada f'(x) | Condición |
|---|---|---|
| c (constante) | 0 | c ∈ ℝ |
| x^n | n·x^(n-1) | n ≠ 0 |
| e^x | e^x | Única función = su derivada |
| ln(x) | 1/x | x > 0 |
| sin(x) | cos(x) | x en radianes |
| cos(x) | -sin(x) | x en radianes |
| tan(x) | sec²(x) = 1/cos²(x) | x ≠ π/2 + kπ |
| √x = x^(1/2) | 1/(2√x) | x > 0 |
| 1/x = x^(-1) | -1/x² | x ≠ 0 |
| a^x | a^x · ln(a) | a > 0, a ≠ 1 |
¿Cuáles son las reglas de derivación más importantes?
Ejemplos paso a paso
| Funcion | Regla | Derivada |
|---|---|---|
| 3x⁵ - 2x³ + 7 | Potencia + linealidad | 15x⁴ - 6x² |
| x² · sin(x) | Producto | 2x·sin(x) + x²·cos(x) |
| sin(x²) | Cadena | cos(x²) · 2x |
| (3x+1)^4 | Cadena | 4(3x+1)³ · 3 = 12(3x+1)³ |
| e^(2x) | Cadena | 2e^(2x) |
¿Qué significa geométricamente la derivada?
La derivada f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en x = a. Mide la tasa de cambio instantánea.
| Valor de f'(x) | Significado geométrico | Significado práctico |
|---|---|---|
| f'(x) > 0 | Función creciente | Precio/velocidad aumenta |
| f'(x) < 0 | Función decreciente | Precio/velocidad disminuye |
| f'(x) = 0 | Punto crítico (máx/mín/inflexión) | Óptimo local |
| f''(x) > 0 | Cóncava hacia arriba | Aceleración positiva |
| f''(x) < 0 | Cóncava hacia abajo | Aceleración negativa |
Preguntas frecuentes
¿Qué es una derivada?
La derivada de f(x) en un punto mide la tasa de cambio instantánea: f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h. Geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
¿Cuál es la regla de la potencia?
d/dx[x^n] = n·x^(n-1). Ejemplo: d/dx[x^5] = 5x^4. Funciona para cualquier exponente real, incluso fracciones: d/dx[√x] = d/dx[x^(1/2)] = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x).
¿Cómo aplicar la regla de la cadena?
Para f(g(x)): derivada = f'(g(x)) × g'(x). Ejemplo: d/dx[sin(3x)] = cos(3x) × 3 = 3cos(3x). La función exterior evaluada en la interior, multiplicada por la derivada de la interior.
¿Cuándo usar la regla del producto?
Cuando la función es un producto de dos funciones: d/dx[f·g] = f'g + fg'. Ejemplo: d/dx[x²·e^x] = 2x·e^x + x²·e^x = e^x(2x + x²).
¿Qué es la derivada segunda?
Es la derivada de la derivada: f''(x). Indica la concavidad (si la curva abre hacia arriba o abajo) y la aceleración. Si f'' > 0, el punto crítico es un mínimo; si f'' < 0, es un máximo.
¿Cómo hallar máximos y mínimos de una función?
Calcula f'(x) = 0 (puntos críticos). Luego evalúa f''(x): si f'' > 0 es mínimo; si f'' < 0 es máximo. Evalúa también los extremos del dominio.
¿Para qué sirven las derivadas en la vida real?
En física para velocidad y aceleración; en economía para maximizar beneficios; en ingeniería para optimizar diseños; en medicina para modelos de crecimiento; en finanzas para sensibilidad de precios (opciones: delta = dV/dS).
Ingeniero y docente universitario. Expertos verificados en finanzas, fiscalidad y matemáticas.
Última actualización: marzo 2026
📚 Fuentes: Newton-Leibniz - Cálculo Diferencial (1666/1675) · Wolfram MathWorld - Derivative · Khan Academy - Cálculo diferencial